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作者：瞿裕忠，胡伟，程龚
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     * 贴子主题： 北大09最后一道题怎么做，特别是第二问 举报  打印  推荐  IE收藏夹 
       本主题类别:     
     mingwlinux 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 北大09最后一道题怎么做，特别是第二问

    北大09最后一道题怎么做，特别是第二问

    请高手解答一下：

    群G只有一个非平凡子群。
    （1）证明G为循环群。
    （2）求群G的阶。


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    顶(0)
      




    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/13 23:22:00
     
     benz725 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1986-7-25
      
      
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    发贴心情 
    (1)任取a属于G则<a>为G的子群，若<a>=G,则G为循环群，否则再在G中取b不属于<a>，则<b>为G子群，因为G只有一个非平凡子群，则<b>=G
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/14 7:56:00
     
     benz725 帅哥哟，离线，有人找我吗？狮子座1986-7-25
      
      
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    发贴心情 
    (2)由（1）令G=<a>，｜G｜＝n
    任取a^t，则(t,n)=1时，a^t为G的一个生成元，仅当(t,n)>1时<a^t>才是G的非平凡子群
    分析知G的阶只可能为p^2
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/14 8:05:00
     
     me2009 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 

    质数的平方。
    2,3,5,7,11等的平方（4,9,25,49,121....）。


    G然后因为只有3个子群。
    4的互质因子只有3，
    9的互质因子只有3，5，所以生成元3个<a>=<a3>=<a5>，剩下的是其子群。<e>,<a2>,<a4><a6>
    25的互质因子只有3，5，7，11，。。，生成元很多。。
    ---（省略。。）


    最后结论 阶=4

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/15 14:46:00
     
     深白色的阳光 帅哥哟，离线，有人找我吗？射手座1986-12-9
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用me2009在2009-1-15 14:46:00的发言：
    质数的平方。
    2,3,5,7,11等的平方（4,9,25,49,121....）。


    G然后因为只有3个子群。
    4的互质因子只有3，
    9的互质因子只有3，5，所以生成元3个<a>=<a3>=<a5>，剩下的是其子群。<e>,<a2>,<a4><a6>
    25的互质因子只有3，5，7，11，。。，生成元很多。。
    ---（省略。。）


    最后结论 阶=4



    同学，欧拉函数的定义没有掌握清楚吧？再说，欧拉函数和这道题没有什么关系吧。。。
    循环群的子群个数是该循环群的阶的因子个数，p^2阶的循环群只有一个p阶的非平凡子群。不过p^2阶的群就不一定了，有可能是两个p阶剩余类加群的直和，不过这道题显然不属于这种情况。

    ----------------------------------------------
    我的手越肮脏，眼神越是发光……

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/15 22:06:00
     
     mingwlinux 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    根据上面的讨论，我有了自己的想法，就是群G的阶为质数的平方，如2,3,5,7,11等的平方（4,9,25,49,121....）。

    理由是教材P256的定理，依据定理17.13(3)，对于某质数p，p^2阶循环群的子群中只有p阶子群是非平凡子群；

    定理17.13(3)如下描述：

    定理17.13 G = <a> 是循环群，那么
    (1) G 的子群也是循环群；
    (2) 若G 是无限阶的，则G 的子群除feg 以外仍是无限阶的；
    (3) 若G 是n 阶的，则G 的子群的阶是n 的因子，对于n 的每个正因子d，在G 中有且仅有一
    个d 阶子群.

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/15 23:01:00
     
     acm.pzh 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    我的答案是p^2，
    好象错了不
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/16 23:42:00
     
     bravery 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    素数的平方
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/23 15:08:00
     
     xiaoyou8519 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    大家认为2p可能吗？
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/31 17:12:00
     
     xiaoyou8519 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
      等级：大三(面向对象是个好东东!)
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    发贴心情 
    今年答的不好，很是郁闷了一阵子。
    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2009/1/31 17:16:00
     
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