2、逻辑与哲学佛学的关系
逻辑与哲学是密切相关的，一直伴随着哲学的发展，从亚里士多德的《工具论》到弗雷格的《算术基础》。当代西方哲学的一个重要方向分析哲学(语言哲学)的发展史就是逻辑学的发展史，当代西方哲学的另一个重要方向现象学与逻辑也存在密切关系，现象学祖师胡塞尔就是从逻辑研究走向了现象学。此外，逻辑学给哲学研究提供了一个思维基础，现在哲学的各个子学科基本上都要求有逻辑的基础。比如伦理学也有规范伦理学。可以说，逻辑是哲学殿堂的基石和立柱。当然，逻辑也是科学的基石和立柱。你看，现代学科都要加上“-logy”的后缀。
佛学里也有思辨性相当强的集量论和唯识学，与当代西方的分析哲学（语言哲学）和现象学正好存在某种平行的关系。佛学里结合得很完美的集量论和唯识学，无疑将为西方哲学的走向提供一个重要的参考。分析哲学主要提供了研究的形式（手段），确保推理的保真性；现象学则主要提供了研究的内容，确保作为起点的公理的直观性。
此外，佛学在使用逻辑的时候，同时也批判逻辑的局限性。在言说真理的时候，我们不得不使用逻辑，但在某些时候我们又必须超越逻辑，才能进一步地认识真理。以下引禅宗一个故事：（赵州）问南泉：“如何是道。”南泉曰：“平常心是道。”师曰：“还可趣向否。”南泉曰：“拟向即乖。”师曰：“不拟时如何知是道。”南泉曰：“道不属知不知。知是妄觉。不知是无记。若是真达不疑之道。犹如太虚廓然虚豁。岂可强是非耶。”师言下悟理。

3、数理逻辑与计算机科学的关系
    (1) 首先，从计算模型和可计算性的研究来看，可计算函数和可计算谓词（一种能够能行判定其真值的断言或逻辑公式）是等价的，相互之间可以转化。这就是说，计算可以用函数演算来表达，也可以用逻辑系统来表达。作为计算模型可以计算的函数恰好与可计算谓词是等价的，而逻辑系统又能通过自身的无矛盾性保证这样一种计算模型是合理的。由此可见，作为一种数学形式系统，图灵机及其与它等价的计算模型的逻辑基础是坚实的。人工智能领域的一个重要方向就是基于逻辑的人工智能。
  (2) 实际计算机的设计与制造中，使用数字逻辑技术实现计算机的各种运算的理论基础是代数和布尔代数。布尔代数只是在形式演算方面使用了代数的方法，其内容的实质仍然是逻辑。
  (3) 从计算机程序设计语言方面考察，语言的理论基础是形式语言、自动机与形式语义学。而形式语言、自动机和形式语义学所采用的主要研究思想和方法来源于数理逻辑和代数。程序设计语言中的许多机制和方法，如子程序调用中的参数代换、赋值等都出自数理逻辑的方法。此外，在语言的语义研究中，四种语义方法最终可归结为代数和逻辑的方法。而且，程序的语义及其正确性的理论基础仍然是数理逻辑，或进一步的模型论。
  (4) 在计算机体系结构的研究中，象容错计算机系统、Transputer计算机、阵列式向量计算机、可变结构的计算机系统结构及其计算模型等都直接或间接与逻辑与代数密不可分。如容错计算机的重要基础之一是多值逻辑，Transputer计算机的理论基础是CSP理论，阵列式向量计算机必须以向量运算为基础，可变结构的计算机系统结构及其计算模型主要采用逻辑与代数的方法。
（以上参考赵致琢老师《计算科学导论》）

4、数理逻辑基础的两种教学模式
“数理逻辑基础”是计算机科学与技术专业核心基础课程，也是学科重点专业基础课程之一，属于教学计划中的必修课程。数理逻辑和代数是计算机科学最重要的数学基础。历史上，数理逻辑在发展中受不同数学学派的影响甚深，形成了不同的逻辑学派。各逻辑学派在表达数理逻辑基础内容时，在对内容的选材和表达形式方面存在很大不同，考虑到对计算机科学学科影响较大的是形式主义逻辑学派和直觉主义逻辑学派，因此，课程教学大纲在制定时划分为两个模式。
其中，第一模式介绍基于形式主义逻辑学派的数理逻辑基础内容，第二模式介绍基于直觉主义逻辑学派观点的数理逻辑基础内容。
本课程（第一模式）的教学任务是，以基础数学、计算机科学、科学哲学和人的日常生活为广泛的背景，从形式主义的观点，介绍作为数学基础分支之一的数理逻辑基础知识，帮助学生掌握数理逻辑基础最基本的知识，为今后逐步实现理性层面上的思维方式的数学化打下坚实的基础，为后续课程提供必要的数理逻辑基础。

5、课程内容
数理逻辑概述：数理逻辑的发展概述；数理逻辑与科学思想方法；逻辑演算与符号约定；
命题逻辑的非形式演算：基本概念；等值演算；范式；公式的蕴涵和推理；
命题逻辑的形式演算：形式系统简介；形式系统；形式系统的性质；
一阶谓词逻辑的非形式演算：基本概念；等值演算与前束范式；公式的蕴涵和推理；
一阶谓词逻辑的形式演算：形式系统；可证等值；形式系统的性质；模型；
归结原理：Skolem标准型与子句集；子句集的Herbrand域；Herbrand定理；合一算法；归结原理及其完备性
直觉主义逻辑：直觉主义的直观介绍；直觉主义的一阶谓词逻辑的非形式演算；直觉主义的一阶谓词逻辑的形式演算；直觉主义逻辑的Kripke语义；直觉主义逻辑的完备性；
数学系统：一个例子；含有等词的一阶系统；群论；一阶算术；形式集论；相容性与模型
(* Gödel不完全性定理：引言；可表达性；递归函数和递归关系；Gödel编码；不完全性定理)
数理逻辑与计算机科学（这部分内容结合短学期以讲座形式开设）：数理逻辑的发展；数理逻辑与计算理论；数理逻辑与算法；数理逻辑与程序设计语言；数理逻辑与程序设计；数理逻辑与人工智能；数理逻辑与计算机硬件系统；数理逻辑与其他分支学科。

6、使用教材和参考书：
1、Hamilton, logic for mathematicians, Cambridge University Press,1978(国内影印本，清华大学出版社，2003)
相应中译本：哈密尔顿著，骆如枫等译，《数学家的逻辑》，商务印书馆，1989年
2、胡世华、陆钟万著，《数理逻辑基础》，科学出版社，1981
3、陆钟万著，《面向计算机科学的数理逻辑》，科学出版社，1998
4、S.C.Kleene著，莫绍揆译，《元数学导论》，科学出版社，1985（数理逻辑与递归函数的关系有较深入展开）
5、Lassaigne, et al., logic and complexity, Springer, 2004（较新，关于逻辑与复杂性有较深入展开）

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有句话不知该说不该说,我们做为年轻老师,以您的才气,不拿个博士学位有点委屈您了.

罗素悖论――哥德尔――弗协调逻辑――佛学浅谈

我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。                                          ――爱因斯坦

写下这个题目，不免有些惊心动魄，这些主题词未免太大了，还好本文只是对这些主题词的相关方面作一些初步的探讨。

1．悖论

悖论自古有之。比较出名的是说谎者悖论：一个人说了一句话：“我现在在说谎”。我们来分析一下这句话是真话，还是谎话。假设这句话是真话，由它的内容所指，则这句话是谎话；反过来，假设这句话是谎话，那么“我现在在说谎”就是谎话，因此他说的是实话。

由这句话是真话，可以推导出这句话是谎言；由这句话是谎话，又可以推导出这句话是真话。这就称为悖论。

更形式化的悖论定义是：“由A可以推导出┐A（A的否定的形式写法），并且由┐A可以推导出A。”

悖论还有很多，如“苏格拉底悖论”、“万能上帝悖论”、中国古代的“矛盾悖论”、“先有鸡先有蛋悖论”、“自由悖论”、康德的二律背反等等。

还有一类跟悖论很相近的命题，我们不妨称之为“自毁命题”。自毁命题的定义是：“由A可以推导出┐A，但由┐A并不能推导出A。”自毁命题具有自毁性质，自毁命题本身是不能成立的，但它的否定却没有约束。

比如克里特哲学家说：“克里特人总是说谎”，这就是一个自毁命题。这个命题与说谎者悖论很相似，但两者并不一样。假设这句话是真话，那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实，可以推出这个哲学家也总是说谎，这个哲学家现在当然也是在说谎，即这句话是谎言；再看另外一个方向，假设这句话是谎话，也就是“克里特人并不总是说谎”，由此并不能推出矛盾。

再看“世上没有绝对的真理”，这也是一个自毁命题。假设这句话是真的，那么世上就有了绝对的真理，这与话语所指矛盾；假设这句话是假的，也就是“世上有某些绝对的真理”，这并不能产生矛盾。

再如“中国文化一无用处”，这也是一个自毁命题。我们用中文文字来说这句话，这样来看，中文文字就是有用的，也即中国文化的某些东西是有用的，这就与原命题矛盾；反过来，这个命题的否定也并不能产生矛盾。

《五灯会元》里有长爪梵志与佛陀的辩论，长爪梵志的立论命题是“什么都不接受。”佛陀就问道：“那你接受不接受‘什么都不接受’这个观点呢？”长爪梵志无言，只好认输。这也是一个自毁命题。

自毁命题也还有很多，比如“真理是不可言说的”，“墙上不准写字”，“我没有在说话”，“我现在在睡觉”。

另外，还有一类“自成命题”。自成命题的定义是：“A并不可以推导出┐A，但由┐A可以推导出A。”自成命题具有自成性质，自成命题的否定将导致矛盾的，但它的肯定却没有约束。比如哥德尔语句，就是自成命题。

悖论与自毁命题、自成命题的一个区别是：自毁命题的名词常常包含有一个全称量词的限制。

悖论与自毁命题、自成命题的相同之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖论在肯定和否定命题两个方向都会产生矛盾，而自毁命题在肯定命题时会产生矛盾，自成命题在否定命题时会产生矛盾。自毁命题只能假，自成命题只能真。

2．罗素悖论

悖论里面最出风头的要数“罗素悖论”，他直接引起了“第三次数学危机”，撼动了整个数学的基础。

以下，我们介绍一下“罗素悖论”。如果集合具有自己属于自己的性质，那么我们称这个集合是“自吞的”，比如所有集合的集合。现在假设T是所有不自吞集合的集合。那么请问T是否是自吞的？如果说T不是自吞的，那么T将属于自己，那么T就是自吞的。如果说T是自吞的，那么T便具有T内元素的性质“不自吞”，即T是不自吞的。

“罗素悖论”的通俗形式是“理发师悖论”：一个理发师声称他只给不为自己理发的人理发。那么问题来了，这个理发师是否给自己理发？如果他不给自己理发，那么按照他的声称，他应该给自己理发。如果他给自己理发，那么他便具有“不为自己理发”性质的，也就是他不为自己理发。

数学家“日用而不知”的“集合”概念居然存在矛盾，这对于当时的数学家们不啻一记晴天霹雳。打个比方，一个人早上醒来，却发现自己脚下都是沙土。或者正如一个百万富翁突然发现自己的钱都是假钞。或者正如一个小孩放学回来，却发现自己的家人都不见了，自己的家都“空”了。这样的感觉无疑是使人震惊，甚至恐惧的。既然朴素的集合论思想是不严密的，那么数学家们就要建构更加严密的集合论，在朴素集合论的概念里加上一些限制，以防止不适当集合的出现。如此，公理集合论就渐渐发展起来了。其中，ZF公理集合论是比较成熟的一种。ZF公理集合论目前还没出现矛盾，但问题是经过了“第三次数学危机”，如何叫数学家们相信“ZF公理集合论是一致的”？（所谓一致的，就是不矛盾的，或称协调的，也就是不会在一个系统里面既有公式A为真又有公式┐A为真。）

这个问题又扩展到对数学基础的反思，什么样的数学基础是稳固的？数学真理的本质是什么？数学命题有什么意义？它们是建基于什么样的证明之上的？［1］

对于此问题的不同看法，数理逻辑界形成了三派：逻辑主义学派（罗素，怀特海）、形式主义或公理学派（希尔伯特）、直觉主义（布劳威尔）学派。本文主要涉及形式主义学派。

希尔伯特大力提倡数学的形式主义（即公理化）。在那个时期，初等几何、算术、群、环、域、拓朴空间等数学系统都得到了公理论。回顾历史，我们还可以惊奇地发现，哲学家斯宾诺莎尝试过用公理化的方法来表述伦理学。

希尔伯特提出了希尔伯特方案，也就是把把古典数学的每一分支都形式化，并且证明这些数学公理系统的协调性和完全性。所谓协调性，也就是一致性，即这个形式系统内部不会出现矛盾。所谓完全性，是指这个形式系统里面的任一公式A，或者A是可证的，或者是┐A可证的。

正当希尔伯特满怀信心要一劳永逸地解决数学基础问题时，哥德尔不完全性定理的证明惊醒了形式主义学派的美梦。

3．哥德尔

哥德尔（1906－1978）在中国是值得大吹特吹的人物，国外一般认为哥德尔与爱因斯坦都是上世纪最有影响的科学家。特别是在数学界和人工智能界，甚至有很多教授认为哥德尔高于爱因斯坦。但在国内，哥德尔远不如爱因斯坦名声响。究其原因，除了哥德尔理论的艰涩外，可能还由于哥德尔本人性格的内向。

哥德尔（Godel）一般被认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家（或许还加上一个弗雷格，他是现代逻辑的创始人）。他有几个主要的贡献：一阶逻辑的完备性定理，哥德尔第一、第二不完全性定理、连续统假设与ZF公理集合论的协调、旋转宇宙里时间旅行的可能、把莱布尼兹的上帝存在论证明转化为逻辑形式。在他的晚年，他对哲学产生了深厚的兴趣，尤其是康德、莱布尼兹和胡塞尔的哲学理论。（哥德尔晚年的转向，其背后包含有什么东西呢？）

在第一不完全性定理中，哥德尔证明了，任一包含算术的形式系统，它的一致性和完全性是不可兼得的。或者这样来说，如果一个包含算术的形式系统是一致的，那么这个系统必然是不完全的。所谓不完全，就是指存在一个公式A，使得A和┐A在这个系统内都不可证。

在哥德尔第一不完全定理中，哥德尔创造性地应用了很多理论，如递归函数，哥德尔编码，对角化，自引用等。在可计算的意义下，N上可表达性、递归函数、图灵可计算（也就是目前的计算机可计算）、lambda函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性，哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。

4．自引用

哥德尔在第一不完全性定理的证明中，构造了一个公式G，使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描述：“这个数论语句在系统中是不可证的。”这个G是不可证的，也就是“这个数论语句在系统中是不可证的”在系统中是不可证的。在这里，我们看到了“自引用”（或称“自指”，“怪圈”）。

这种怪圈并不是在数学上独有的。侯世达先生（Douglas R. Hofstadter）的《哥德尔、艾舍尔、巴赫――集异壁之大成》［2］是人工智能界的一本奇书。在这本书里，作者考察了各种形式的“自引用”。为了对这种“自引用”有个直观的了解，大家不妨看一下艾舍尔的木雕画，看看那些“瀑布”、“拿着反光球的手”、“变形”、“左手画右手，右手画左手”等怪画。同样，在巴赫的卡农与赋格里，也存在类似的怪圈。数理逻辑学家哥德尔更是神奇般地把这种怪圈引进了以精确著称的数学领域。令人叫绝的是，侯世达先生甚至在本书的创造中也使用了很多怪圈。

另外，在博尔赫斯和卡尔维诺的文学作品里，我们也可以看到类似的怪圈。我在《玄奘东归记》的创作中，也尝试使用了这种怪圈。

再者，这种怪圈在道德界也经常可以发现，但它往往是以反面的形式出现，也就是“不自指”的。我们习惯于指责他人，我们很难做到“责人先责己”。我们严于律人，宽以待己。我们习惯于指责其它民族，我们却很难反省一下我们历史上的“帝王将相”动则活埋数十万人，我们却很难反省一下狂乱的“文化大革命”。（目前，市面上总算看到了关于文革反省的《一百个人的十年》（冯骥才著））我们习惯于指责社会的物质化，我们却很难控制自己对物质的欲望。我们习惯于指责社会在堕落，我们却很难反省我们参与了整个社会的堕落。我们习惯于指责其他人贪污腐败，我们却很难反省一下我们对权力财富的不当追逐。我们习惯于说别人都是坏的，我们却很难反省我们自己也是坏的。其实，一切道德命题都应该是“自指的”。康德的“普遍化原则”说道：“要只按照你同时认为也能成为普遍规律的准则去行动。”

再来看自然语言方面，每个词语都要由其它词语定义，那么在语词深处，不可避免地是循环定义的，是自引用的。

不要再讲这么多太玄的东西，我们只要简单地对看一眼，这时就是一个“自引用”的悖论。假设甲与乙对看了一眼，那么请问甲看得多，还是乙看得多？如果说甲看得多，那么甲看到的所有东西（通过甲的眼睛在乙的眼睛里的成像）都会被乙看到，这样来说乙看得更多；如果说乙看得多，同理可得甲看得更多。这不是悖论是什么？

这种怪圈在音乐界，在美术界，在文学界，在数学界，道德界、语言界乃至日常生活中都有其客观的存在，那能否说怪圈是人类的一种现象呢？是不是因为某种更本质的怪圈（比如意识里的怪圈），才导致了这种怪圈现象在音乐、在美术、在文学、在数学上的投影呢？现象学、存在主义、心理学、唯识学能对这种怪圈现象有什么贡献吗？

5．不一致

根据第一不完全性定理可以推导出，一个包含算术形式系统的一致性在这个系统内是不可证的。这就是哥德尔第二不完全性定理。根据这个定理，一致性的证明超出了形式系统的能力。也就是说，形式系统可能是一致的，形式系统也可能是不一致的。在没有发现形式系统的矛盾性之前，我们只有学习维特根斯坦，对系统的“一致性”保持沉默。

前期的维特根斯坦认为语言与世界共有一种逻辑本质并追求一种精确的语言，而后期的维特根斯坦则承认日常语言，接受日常语言的模糊性，诉诸常识――世界图示。这又能给我们什么启示？

我们左绕右绕，绕了这么久，还是绕不开“不一致”？那么我们不妨换一种思维：“既然甩不掉你，那你要跟着，你就跟着吧”。或许“不一致”正如同人的影子，它是人类远不脱的宿命？

在这样的思路下，非单调逻辑和弗协调逻辑诞生了。

非单调逻辑承认人在不同时间里理论不协调性的可能。比如当人类看到大雁会飞、鸽子会飞……于是总结出“所有的鸟都是能飞的”。但后来人类又发现驼鸟是不能飞的，于是原来的命题就应该改为“所有的鸟都是能飞的，除了驼鸟”。而且，如果以后发现还有其它鸟不能飞，这个命题就还要再改。这样来看，系统的定理集并不是单调递增的。

非单调逻辑在“允许不一致”方面进行了探索，但非单调逻辑还不是严格的“不协调的逻辑”。非单调逻辑允许在不同的时间里可以有A和┐A同时成立，但是在同一时间里，非单调逻辑也不允许A和┐A同时成立。

那么，是否有一种逻辑允许A和┐A同时成立呢？

我们来分析一下，如果有一种逻辑系统允许A和┐A同时成立，那么这个系统称为不一致的。由反证法规则可以推导出，在不一致的系统里，所有的公式都是真的。这种公式全真的系统，我们称之为“不足道的系统”，也就是没有研究价值的系统。如此可以看出，“不一致的系统”（通过反证法规则）一定是“不足道的系统”。那么，我们能不能构造一个“不一致但又足道的系统”呢？答案是可以的，前提是该系统里不能承认反证法规则。

弗协调逻辑（Paraconsistent Logic）［3］，就是这样一个逻辑系统。在这个逻辑系统里，矛盾律和反证法不普遍有效。如此，就引入了一个不一致但却足道的逻辑系统。弗协调逻辑是人类思维的一个大胆飞跃，它大胆地否定了“矛盾律”的普遍有效性，在系统里面引入了“不一致”。在这个逻辑系统里，A和┐A可以同时成立。

科斯塔（N.C.A. da Costa，1929－），弗协调逻辑的开创者，定义了一系列逻辑系统Cn(1<=n<=ω)。在C1系统中，┐（A∧┐A）成立时，归谬律才成立。在C2系统中，（┐（A∧┐A））∧┐（（┐（A∧┐A））∧（┐┐（A∧┐A）））成立时，归谬律才成立。如此类推，可以定义到Cω。

6．无

科斯塔的这些逻辑系统层次与佛教中的“四重二谛”是有类似之处的。我曾在《以数理逻辑试解四重二谛》［4］中试图用逻辑语言来表达“四重二谛”，并提出了真理的层次论。在“四重二谛”中，有以下的性质：a.每一重里，真谛来自于对俗谛的否定。b.第(n+1)重的俗谛是第n重俗谛与真谛之分的前提。这种层次之分，与弗协调逻辑里的层次很有相似之处。

不同之处在于，科斯塔的弗协调逻辑侧重“立”的方面，“四重二谛”则侧重“破”的方面。“四重二谛”的前三重可以对应一个数学归纳法。到了第四重，则对于前三重建立的所有系统来了一个更彻底的否定，直至“言亡虑绝”。

另外，在侯世达先生的《哥德尔、艾舍尔、巴赫――集异壁之大成》里，我们也能看到很多禅宗的故事。一个外国人，通过一学期的汉语课，就能对禅宗有如此深的悟解，这是不能不让我们惊叹且惭愧的。

本文的最后，我们也来欣赏一个禅宗故事。《大慧普觉禅师语录》卷30里写道：僧问赵州：“狗子还有佛性也无？”州云：“无。”此一字子，乃是摧许多恶知恶觉底器仗也。如僧问赵州：“狗子还有佛性？” 州云：“无。”只管提撕举觉，左来也不是，右来也不是；又不得将心等悟，又不得向举起处承当，又不得作玄妙领略，又不得作有无商量，又不得作真无之无卜度，又不是坐在无事甲里，又不得向击石火闪电光处会。直得无所用心，心无所之时，莫怕落空，这里却是好处。

我们应该注意到，这个“无”并不是“有”的对立面“没有”。这个“无”踏杀了“有”、“没有”、“有且没有”、“有或者没有”，“非有或者没有”……直到言亡虑绝，这才罢休！

佛学中这种“无”的思想，能给今天的我们什么启迪？

主要参考文献：

1、S．C．克林著，莫绍揆译，《元数学导论》，科学出版社，1984

2、侯世达著，郭维德等译，《哥德尔、艾舍尔、巴赫――集异壁之大成》，商务印书馆，1996

3、张清宇等著，《哲学逻辑研究》，社会科学文献出版社，1997

4、庄朝晖著，《思拷者手记》，中国文联出版社，2003

我插一句，近来理论界比较热门的model checking领域，各种各样的逻辑（特别是时态逻辑）已经和自动机＼petri网等等形式化方法一起成为规范与验证的重要方法．在软件方面，这样的研究很热，在硬件和网洛协议方面，更是超出了理论范围，在工程技术上已经得到重要应用．

说的远一点，扩大到软件开发的全过程，基于逻辑＼自动机＼petri网＼．．．等理论的形式化方法在遥远的将来会不会取代传统的基于经验的软件工程方法？至少是部分取代？

说的再远一点，数理逻辑摆脱不了形式系统的不完备性，在遥远的未来，计算机科学又该怎样突破这个瓶径？

哎，计算机科学真是博大精深啊！庄兄你们的面向青年教师的高级培训课程如果能推出一系列教材就好了，虽然在书店没有市场，但面向青年教师群体这个市场也行，价格也可以比市面讲流行技术的书适当的高一点．

这样的书太难找了．

我们知道,图灵可计算理论指出了计算能力的限制,它的本质是形式系统的不完备性.我们还知道,计算机科学是建立在数理逻辑的基础上.而数理逻辑是形式化了的数学逻辑.我们又知道,没有数学层面的算法,计算机根本就是费铜烂铁!那在数学逻辑之内,在形式逻辑之外,有没有可能找到一种非形式主义的数学逻辑,以突破形式系统的不完备性,又保持计算机算法的构造性和能行性?

比如有人说辩证逻辑的数学化,这个有可能吗?对突破经典可计算性理论的局限有价值吗?

可能问题太大,超出我的能力之外,不过是有点兴趣.不过我的兴趣纯属科学技术层面,不上升到哲学层面.

上述观点见于2004年TCS上发表的一篇论文[Carol E. Cleland, The Concept of Computability, Theoretical Computer Science, 2004, 317:219-225]。

我搞了几年形式化，发现工程界普遍对形式化不重视。没想到你对形式化比我还崇拜，哈哈。。。看个玩笑，不要介意。

我在想，计算机为何有计算能力的限制？只关注形式不关注内容也许是不行的，但是，离开了数学，工程上又不可能为计算机找到求解问题的方法。还有，数学界也有非形式主义的学派，能不能为计算机科学所用呢？但算法看来还得是构造性的才行，不然能用到工程上吗？理论计算机科学的发展还要呼换数学啊。

非形式的数学和形式的数学都是高度抽象的，使用非形式的数学来克服形式的数学的局限，不是不可能，而是已经做到了，但是不是能不能有非形式的构造性数学，以适应计算机算法的需要，我不知道。

在数学层面上寻求计算的本质，看看能不能突破？形式系统不行就用非形式系统试试？没试你怎样知道不行呢？必竟非形式系统不受形式系统的不完备限制。

也许计算机算法本质上是构造性数学，也许用形式语言书写不是必要的呢？这个不好说吧？

Logician看的文章真多,佩服,

刚把这篇下载下来,有空仔细看一下.

如果图灵的理论真能被突破,那可太牛了.就连现在著名的"量子计算"和"DNA计算"都突破不了.想想也是,计算的本质可能由数学下降一个抽象层次到物理和生物吗?

1、最小不动点？
寻找一个公式的不动点的过程就是在解空间内得到一个最小可满足的集合。
即：如果∑|=f  则存在一个最小子集m满足m|= f。m就是满足公式 的最小不动点！
再如对方程f：F(x,y)=0，如果它有解，意味着在实数空间内存在有序对构成的集合S={<x,y>| x,y是实数R }满足该方程：S|=f。那么，我们求这个方程的解，就求一个最小集m 属于S满足该方程：S|=f，m就是方程f的最小不动点。
2、最大不动点又怎样？
   如果最小不动点是可满足公式的最小集合，即满足公式的最小先决条件集合，或公式的最小模型；
<font color=red>那么最大不动点就是一个“最大一类结构（模型集合）”，其中每一个结构都是公式的模型；即集合中每一个结构在任意指派s下都是可满足的。[是否也可以说，最大不动点就是一个最大的模型，它在任一指派s下使公式为真?]</font>

以下是引用chzhuang在2006-2-28 14:28:00的发言： 那个面向国内的计算机高级研讨班，是我们系的赵教授主持的，好像也没有什么教材，就是邀请全国的老师在一起上课吧。 zhaoming兄说得好呀，我对model checking也感兴趣。这个领域可以说是理论与实践都有了。

现在还有开班吗，在哪一个大学啊？

关于这个讲座，好像每年都有，以前是在贵州大学或者昆明大学办的多得多吧。还可以吧，听听还可以在附近玩一玩。呵呵，贵州的黄果树瀑布实在太好玩了...

2、胡世华、陆钟万著，《数理逻辑基础》，科学出版社，1981
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这本教材超棒，上下册，内容详细、证明清楚，可惜没有再版。

撇开人工智能的应用，但从计算机的形式化应用的角度来说，这两本教材非常值得推荐：
1。Logic, Sets and Recursion by Robert L. Causey
2。Logic in Computer Science :Modelling and Reasoning about Systems

赞中山大学逻辑研究所！可能是目前国内做逻辑做得最好的一个研究所了，鞠实儿、李小伍等人都非常不错。

听了老师们的讲解,思路有一些清晰.而且比较突破的是,将社会学和心理学(归类于"文科"),和逻辑智力中心的联系比较清楚.(自已也有一些思考,但不清晰)....

渴望与各位老师交流.(具体看个人说明,QQ12974855)

这本书也算挺不错的！不过我学习得不够深入！

以下是引用zhaoming在2006-3-15 20:56:00的发言： 呵呵，空谈兄，我可不想空谈，无奈这个话题太大，远远超出我的能力之外，但这里是科学论坛，毕竟不是期刊论文，没有严格数学证明的思维思辩一下在论坛中总是可以的吧。而且，如果不敢想象就永远不会有创新，虽然提出这样一套严密的理论我肯定做不了。抛砖引玉大家讨论一下总可以吧？这应该不是显示出自己有多.....吧？难道所有人都只关心编程技巧才说明大家“踏实”？当每个人都在讨论程序的时候，不该有人对科学理论的发展表示一下兴趣吗？ 我搞了几年形式化，发现工程界普遍对形式化不重视。没想到你对形式化比我还崇拜，哈哈。。。看个玩笑，不要介意。 我在想，计算机为何有计算能力的限制？只关注形式不关注内容也许是不行的，但是，离开了数学，工程上又不可能为计算机找到求解问题的方法。还有，数学界也有非形式主义的学派，能不能为计算机科学所用呢？但算法看来还得是构造性的才行，不然能用到工程上吗？理论计算机科学的发展还要呼换数学啊。 非形式的数学和形式的数学都是高度抽象的，使用非形式的数学来克服形式的数学的局限，不是不可能，而是已经做到了，但是不是能不能有非形式的构造性数学，以适应计算机算法的需要，我不知道。 在数学层面上寻求计算的本质，看看能不能突破？形式系统不行就用非形式系统试试？没试你怎样知道不行呢？必竟非形式系统不受形式系统的不完备限制。 也许计算机算法本质上是构造性数学，也许用形式语言书写不是必要的呢？这个不好说吧？ [此贴子已经被作者于2006-3-15 22:09:31编辑过]

鞠*哪儿非常不错？能讲得有根据些吗？

§ 　　“从战争方面来说，岂不是那能使城邦比敌人更强大的人是更好的公民吗？”
§ 　　“怎能不是呢？”
§ 　　“作为一个使节，岂不是那能化敌为友的人是更好的公民吗？”
§ 　　“大概是。”
§ 　　“在议会发言方面，岂不是那能止息纷争，创造和谐的人是更好的公民吗？”
§ 　　“我想是。”

§ 　　通过这种把讨论引回到原则性问题上去的办法，他就使那些和他争论的人清楚地看到了真理。
辩论的礼节
§ 具有逻辑辩论的基本知识
§ 对于自己和他人的观点都能理解
§ 举止有礼，语言温和，不说污辱对方的话
§ 提出的理由明确犀利
§ 在理想情况下，辩论双方通过辩论，都可以接近真理。
古罗马元老院和当代英国议会的辩论
逻辑溯源
§ 中文的“逻辑”显然音译自英文的“logic”。logic又来自中古拉丁文的logica，logica又源自希腊文logos（λóγｏｓ）。logos一般翻译为“逻格斯”，接近于中文里的“道”。
§ 中文的“道”和希腊文“logos”都有以下两层意思：
1 各种事物的定义或者各种活动的规则（西方各门学科的名字都以 -logy缀后的习惯）
2 言说，言谈
§ 这两层意思也是相互关联的。言谈是为了揭示事物的道理，道理一般也通过言谈得以开显。我们可以构造一个有趣的句子“道道道”，意思是“道说是通往道理的道路”。
逻辑的发展
§ 在言谈和辩论中，渐渐发展出逻辑学这一领域。从地域来分，古代逻辑学可以分为希腊逻辑学（亚里士多德），印度逻辑学（因明学）和中国逻辑学（墨子名学）。
§ 亚里士多德三段论：
§ 大前提：所有人都是有死的。
§ 小前提：苏格拉底是人。
§ 结论：苏格拉底是有死的。
逻辑四大基本定律
§ 同一律：指概念在同一思维过程中必须保持同一。
§ 矛盾律：亚里士多德在《形而上学》中说：“同一事物，不可能在同一时间内既存在又不存在，也不允许有以同样方式与自身相对立的东西。”
§ 排中律：亚里士多德：“在对立的陈述之间不允许有任何居间者，而对于同一事物必须要么肯定要么否定其某一方面。”
§ 充足理由律：首先由莱布尼兹提出。所谓充足理由律是指：“任何一件事如果是真实的或实在的，任何一个陈述如果是真实的，就必须有一个为什么这样而不那样的充足理由，虽然这些理由常常不能为我们所知道的。”
故事：为什么小子
§ 在《聪明的一休》里，大家都躲着好奇小子，因为好奇小子老爱问“为什么”，常常会把大家问得无言以对。
§ 公主：一休是我一个人的朋友！
§ 为什么小子：为什么你一个人要霸占他？
§ 公主大声叫：这件事用不着你管！
§ 为什么小子：为什么不用我管呢？
§ 公主：＠＃＠￥＃￥
§ 为什么小子：“为什么你脸上的表情这么好笑呢？”
§ 公主：……

§ 在以往，逻辑学是哲学的一个分支。1800中期后，逻辑学也成为数学的一个分支。近代以来，逻辑学成为计算机科学的重要基础。根据应用的领域，逻辑可以分为哲学逻辑，数理逻辑和计算逻辑。
§ 当代逻辑的发展，包含以下几位重要的人物：弗雷格、罗素、维特根斯坦、哥德尔、图灵
逻辑与哲学的关系
§ “哲学”一词出自古希腊文“philo-sophia”，意为“爱智慧”，原意为热爱智慧追求智慧
§ 逻辑与哲学是密切相关的，一直伴随着哲学的发展，从亚里士多德的《工具论》到弗雷格的《算术基础》。当代西方哲学的一个重要方向分析哲学(语言哲学)的发展史就是逻辑学的发展史。
§ 当代西方哲学的另一个重要方向现象学与逻辑也存在密切关系，现象学祖师胡塞尔就是从逻辑研究走向了现象学。
§ 此外，逻辑学给哲学研究提供了一个思维基础，现在哲学的各个子学科基本上都要求有逻辑的基础。比如伦理学也有规范伦理学。

§ 当然，逻辑也是科学的基石和立柱。你看，现代学科都要加上“-logy”的后缀。
§ 科学学科都包含了归纳推理和演绎推理的方法。

逻辑与计算机科学的关系
§ 在第三次数学危机中，随着罗素悖论等难题的出现，经典数学的方法受到了空前的置疑：反证法、实无穷。学者们思考这样一个问题：什么样的数学，是确定的？
§ 在对经典数学的批判过程中，一些构造性的计算模型成长了起来：递归函数论、公理系统、图灵机和lambda演算等。在这些计算模型之上，学者们提出了何谓“计算”。
§ 有趣的是，这些计算模型的计算能力是相同的。因此，目前人们对于“计算”的理解，就是基于这些计算模型之上的计算能力。量子计算的计算能力还是在这个范围之内。
§ 其次，因为这些计算模型的等价性，图灵机的计算问题也可以化为在逻辑层面上的逻辑问题。比如P与NP是否相等的问题，也可以在逻辑层面上进行思考。
逻辑的局限
§ 逻辑定理的有效性，依赖于公理和推理规则的有效性。
§ 逻辑定理的有效性，已经包含在前提之中了。在这个意义上，维特根斯坦说定理都是废话。当然了，这些废话埋藏得如此之深，以致以人类不能一下子知道它是废话。这时候，机器可以帮助人类。人类给出前提，机器自动推出定理。
§ 这就是当前计算机的价值和局限。未来，能不能发展出能听能看能认识外界能自己进行归纳的机器吗，能够在不完全的信息中进行推理？
归纳
§ 培根：“知识就是力量”
§ 培根：“读史使人明智，读诗使人聪慧，演算使人精密，哲理使人深刻，论理学使人有修养，逻辑修辞使人善辩”
§ 所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。
§ 比如张三有死，李四有死，…，故而归纳出“所有人都是有死的”。
§ 又如鸽子会飞，大雁会飞，…，故而归纳出“所有鸟都是会飞的”。
休谟难题
§ 以前每天太阳都会升起，那么明天的太阳是否必然也会升起？如果回答是必然，请问如何证明？
§ 最早对归纳法提出置疑的是英国哲学家休谟，所以归纳法的合理性问题也称为“休谟问题”。
§ 因为在科学研究中，特别是经验科学如物理学，经常进行实验再使用归纳法来得出知识。所以，休谟问题其实也是“知识如何可能”的问题。
§ 因为休谟提出这个问题，有学者就认为休谟反对理性，这有点奇怪，难道要信仰“理性万能”才理性吗？难道能提出理性局限的人不是更理性吗？

§ 休谟认为：“说到过去的经验那我们不能不承认，它所给我们的直接的确定的报告，只限于我们所认识的那些物象和认识发生时的那个时期。但是这个经验为什么可以扩展到将来，扩展到我们所见的仅在貌相上相似的别的物象；则正是我所欲坚持的一个问题。”他认为归纳推理的合理性不可证明，宣称这类推理只是一种心理“习惯”。
§ 休谟虽然否认归纳法有逻辑的合理性，但是，休谟并不否认归纳法对于人们的指导作用。作为一名经验主义者，休谟在生活中很推崇归纳法。
§ 几百年来，哲学家们尝试想攻克“休谟问题”，比如康德，始终以失败告终。当然，也有一些成果。比如使用概率来解释归纳。虽然有“休谟问题”，虽然不能证明知识是必然正确的，但与休谟一样，我们还是使用归纳法来获得科学知识，因为这些科学知识很实用。

归纳的局限
§ 归纳出来的知识永远无法被证明是完全正确的。
§ 归纳出来的知识是可错的，比如“所有的鸟都会飞”。
逻辑与归纳的结合
§ 逻辑与归纳其实是分不开的。
§ 逻辑的前提，往往来源于归纳。
§ 根据前提，又可以推导出更多的定理和知识。
§ 比如物理学，就是逻辑与归纳的完美结合。

何谓科学
§ 什么是科学？什么不是科学？
§ 关于科学的标准，比较直观的是“可证实性”标准。如果一个理论是可以证实的，那么该理论就是科学的。但是这个标准存在一些困难，对于一些全称语句比如“所有的鸟都会飞”或者“所有的人都是要死的”这样的理论，我们无法一一证实。
§ 波普尔引入了“可证伪性”作为科学标准。如果一个理论是可以证伪的话，那么该理论就是科学理论。
§ 后来，库恩提出了一种更全面的标准。他把科学看作一定的科学共同体按照一套共有的“范式”所进行的专业活动，并描绘了一种常规时期和科学革命时期相互交替的科学发展模式。
科学的一般方法
§ 找到问题：寻找一个合适的问题，最好要有应用的前景。
§ 分析问题：全面理解这个问题，前提是什么，有没有隐藏的前提，前提会不会太弱，结论是什么。如果此前没人研究过，如何把问题讲清楚？
§ 前人对于这个问题做出了什么贡献？最新的进展是什么？有什么比较有前景的解决方法？
§ 如何在前人的基础之上，做出自己的贡献？
§ 如果是理科，要证明自己的观点。如果是理工科，还要做实验来验证自己的观点。

这是生命教育课程第三讲内容，生命教育课程讲义PPT下载：
http://teach.xmu.edu.cn/MainDirList.aspx?TeacID=132

双方之间仅是CPU的处理控制，具体是如何来实现

先有语义认识，才有语法，语法是为了用公理化的构造性的方法来描述语义认识。所以，所谓可靠性一般是有的。
至于完备性，是不是形式系统一定要具备呢？
如果从构造主义角度来理解，形式系统的语法部分是语义部分中抽取出构造性成分。语义部分的一些地方是不具备构造性的。对于构造主义者而言，语法部分更重要吧。